چكيده
درونريختي α از مدول (_R^)M مورفيك ناميده مي شود اگر ( ker(α ≅ M⁄Mα ، يعني اگر دوگان قضيه ي يكريختي درمورد α برقرار باشد. مدول (_R^)Mمدول مورفيك ناميده مي شود اگر هر درونريختي مورفيك باشد و حلقه ي R را چپ مورفيك مي ناميم اگر (_R^)Rمورفيك باشد. در اين مقاله آنچه را كه در حال حاضر درباره ي اين حلقه ها مي دانيم بررسي خواهيم كرد.
ارليش ثابت كرده است كه درونريختي α از مدول (_R^)M يكه ي منظم است اگر و تنها اگر منظم بوده و ≅ ker(α) M⁄Mα . α را مورفيك مي ناميم اگر ( ker(α ≅ M⁄Mα برقرار باشد يعني اگر دوگان قضيه ي يكريختي درمورد α برقرار باشد.مدول (_R^)Mمدول مورفيك ناميده مي شود اگر هر درونريختي مورفيك باشد و حلقه ي R چپ مورفيك ناميده شود اگر يك مدول مورفيك باشد. اين مقاله در درجه نخست بررسي تحقيقات انجام شده در {13}، {14}و {15} است. بيشتر اثبات ها حذف شده است، اگرچه برخي اثبات ها و نتايج جديد ارائه شده است. تاكيد ما روي حالت مدول است با كاربردهاي آن در حلقه ها .در سراسر اين مقاله فرض بر اين است كه هر حلقه ي R شركت پذير بوده و داراي عضو يكه است و همه ي مدول ها يك دارند. مورفيك هاي چپ مدول ها را در سمت راست مي نويسيم . اگر R يك ,M – مدول باشد، براي راديكال جاكوبسون ، ساكل و زير مدول منفرد M به ترتيب مي نويسيم : Z(M)، Soc(M)، J(M) . بعد يكنواخت (گلدي) با dim(M) نشان داده مي شود. اغلب به طور خلاصه مي نويسيم J(R) = J . مي نويسيم N⊆^egs اگرN يك زير مدول اساسي M باشد و مي نويسيم N ⊆^( ⨁) Mاگر N يك جمعوند مستقيم M باشد. پوچسازهاي چپ و راست زير مجموعه يR X ⊆ را به ترتيب با r(X),1(X) نشان داده و براي حلقه ي اعداد صحيح z و براي حلقه ي اعداد صحيح به پيمانه ي n، Z_n را به كار مي بريم.اگرR يك حلقه بوده و RMR يك مدول دوطرفه باشد،توسيع بديهي R توسطبا M M=R⨁M R ∝ نمايش داده مي شود (كه در آن ضرب با ضابطه ي (a,m)(b,m)=(ab.an+bn)) تعريف شده است.)
