كاربرد موجك ها در هندسه معادلات ديفرانسيل

موضوع اصلي اين رساله بررسي كاربرد موجك‌ها در حل معادلات ديفرانسيل بر مبناي الگوريتم‌هاي هم‌ارزي (نظير الگوريتم‌هاي لي و فوشيچ) است. در ‏حقيقت به‌نوعي نتايج حاصل از اعمال روش‌هاي گروه و جبرلي را با موجك‌ها در هم مي‌آميزيم، تا راهي مناسب براي تجزيه و تحليل معادلات ديفرانسيل ارائه نماييم. در اين‌جا، برآنيم كه با استفاده از موجك‌ها و شبه موجك‌ها، تبديلات موجكي متناظر و پايايي‌هاي حاصل از آن‌ها، معادلات ديفرانسيل را به روشي متفاوت ولي كارا، حل كنيم. موجك‌ها توابعي مهم در آناليز هارمونيك هستند. تا جايي كه مي‌دانيم كاربرد موجك‌ها در تحليل معادلات ديفرانسيل محدود به‌دست يافتن به جواب‌هاي عددي و تقريبي است. موجك‌ها براساس پايايي‌هاي ديفرانسيل حاصل از الگوريتم‌هاي هم‌ارزي، ساخته مي‌شوند. در عمل براي هر معادله، متناسب با پايايي‌هاي ديفرانسيل آن، ابتدا موجك مادر مناسبي را مي‌سازيم، سپس تبديلات موجكي و پايايي‌هاي نظيرش را محاسبه نموده و بر معادله اثر مي‌دهيم. در روشي ديگر مشابه گروه‌هاي تقارني لي، گروه‌هايي از تبديلات موجكي را براساس جواب‌هاي پاياي ديفرانسيل و موجك‌هاي مادر متناظر با پايايي‌هاي ديفرانسيل مي‌سازيم‏، كه با عمل بر فضاي جواب معادله‌ي ديفرانسيل‏، هر جواب را به جوابي ديگر مي‌نگارند. در رويكري ديگر، براي هر معادله، موجك پدر مناسبي را ساخته و آن را مبناي آناليز مشهور چند‌ريزه‌ساز در آناليز موجكي قرار مي‌دهيم تا با تجزيه‌ي فضاي جواب به زيرفضاهاي كوچك‌تر تقريب و موجكي، معادله‌ي ديفرانسيل را روي آن ‌ها حل نموده، جواب نهايي را به شكل تركيب خطي از جواب‌هاي جزيي حاصل روي اين زيرفضاها محاسبه نماييم. در مجموع موجك‌هاي پدر، مادر، خانواده‌هاي موجكي ‎(متناظر)‎ و شبه‌موجك‌هاي جديدي را مي‌سازيم و سه الگوريتم جديد مبتني بر موجك‌ها و پايايي‌هاي ديفرانسيل را ارائه مي‌نماييم. اين سه الگوريتم را بر چندين معادله اجرا نموده، كارايي و دقت آن‌ها را نشان مي‌دهيم.

1396/8/22

43587