1276پ

Maximal Subgroups of Finite Groups

كارشناسي ارشد

رياضي - جبر

دانشگاه پيام نور اصفهان

1395

91ص.

عطائي ، محمدجواد

سليماني ، رسول

74

75-80

finite group, solvable group, maximal subgroup, sylow group, cyclic subgroup

نظريه گروه‌هاي متناهي مبحثي است كه وقت رياضيدانان را براي زماني بيش از صد سال به خود اختصاص داده ‌است. اين امر در جهت كاربردهاي كلي رشته هايي چون زيست شناسي، شيمي و فيزيك مي‌باشد. بررسي گروه‌هاي متناهي، يك مسئله كلاسيك با بسياري ازسوالات موجود باقي‌مانده مي‌باشد. عنصراصلي براي فهم گروه‌هاي متناهي، درك ساختارآن‌ها و يك راه بررسي ساختار گروه‌هاي متناهي، مطالعه زيرگروه‌هاي بيشين آن‌ها مي‌باشد. در اين پايان‌نامه، تعداد زيرگروه‌هاي بيشين در يك گروه متناهي G را كه با |m(G)| نمايش داده مي‌شود، مطالعه مي‌كنيم. يك محاسبه مقدماتي نشان ‌مي‌دهد وقتي‌كه G يك گروه دوري است |m(G)|=|π(G)|، كه π(G) نمايشگر مجموعه اعداد اولي است كه مرتبه G را مي‌شمارد. بالاخره ثابت مي‌كنيم كه اگر G=P_1×P_2ו••×P_n باشد، آن‌گاه؛ .|m(G)|=|m(P_1 )|+|m(P_2 )|+ •••+|m(P_n )| هرگاه π(G)={p_1 ,p_2,••• ,p_n} و براي هر {1,2,•••,n} ∈ i P_i∈Syl_pi (G) رابطه برقرار است. سپس با تغيير توجه مان تا محدود كردن تعداد زيرگروه‌هاي بيشين در يك گروه متناهي دلخواه پپشروي مي نماييم. براي اين امر نخست يك كران بالايي براي تعدادي از زيرگروه‌هاي بيشين در يك گروه متناهي را درنظر مي‌گيريم. كران‌هاي بالا براي برخي از زيرگروه‌هاي بيشين به تدريج توسط رياضيدانان ديگر از طريق ساخت مفروضات بيشتر روي گروه دقيق و دقيق‌تر گرديد. فرضيات بيشتري در مورد ساختار يك گروه متناهي را بررسي نموده وسپس كران بالاي موجود براي برخي از زيرگروه‌هاي بيشين در يك گروه حل‌پذير متناهي را مطالعه مي‌كنيم. در ادامه براي كم كردن دامنه تعداد ممكن زيرگروه‌هاي بيشين در يك گروه متناهي، بايد كران پايين را در نظر بگيريم. بدين روش كران‌هاي پايين مضاعف براي تعدادي از زيرگروه‌هاي بيشين در يك گروه متناهي غيردوري دلخواه را بررسي مي‌كنيم. به طور كلي، براي يك گروه غيردوري G،|m(G)|≥|π(G)|+p هنگامي‌كه p∈π(G) كوچك‌ترين عدد اولي است كه |G| را مي‌شمارد. اگر G يك زيرگروه سيلوي غيردوري داشته باشد و q∈π(G) كوچك‌ترين عدد اولي است كه Q∈Sylq(G) غيردوري مي‌باشد، آن‌گاه رابطه |m(G)|≥|π(G)|+q را خواهيم داشت. بالاخره با توليد دو كران پايين جديد براي |m(G)|، كه هر دو همه اعداد اول در |π(G)| را در نظر ‌مي‌گيرد، بحث را به پايان مي‌رسانيم.

1396/3/7

41473